בלז פסקל: האיש שהימר על אלוהים

א' ט' בל, האיש שספרו על מתמטיקאים מפורסמים בהיסטוריה גרם לג'ון נאש להתעניין במתמטיקה, הגדיר את בלז פסקל בתור פיספוס. לפסקל, שנולד בצרפת ב-19 ביוני 1623, היה כישרון מתמטי נהדר, אך הוא לא מיצה את הפוטנציאל שלו והקדיש את רוב חייו הקצרים – הוא מת בגיל 39 וקצת – להתעסקות כפייתית בהרהורים דתיים קנאיים. למרות זאת, פסקל הצליח להגיע להישגים משמעותיים: הוא בנה מכונת חישוב מכאנית, מהראשונות בהיסטוריה, ויחד עם המתמטיקאי פרמה (כן, ההוא מ"משפט פרמה") ניסח את הבסיס לתורת ההסתברות שמהווה אבן יסוד בתחומים רבים של המדע המודרני. הוא גם ניסה להוכיח מתמטית שכדאי להאמין באלוהים, וברבות הימים אפילו זכה שתיקרא שפת תכנות על שמו.

התחלה מבטיחה

כמו מתמטיקאים גדולים רבים, גם פסקל הראה נטיה לתחום כבר בצעירותו. אביו הבחין ביכולת האינטלקטואלית הגבוהה שלו כשהחל ללמד אותו בעצמו לימודים קלאסיים, בגיל שבע, אך את המתמטיקה הרחיק ממנו בכוח כדי שהדבר לא יפריע ללימודיו האחרים. זה לא עזר: בגיל שתים-עשרה גילה פסקל את הגיאומטריה והוכיח – ללא היכרות מוקדמת עם הנושא! – שסכום הזוויות במשולש הוא מאה ושמונים מעלות. בעקבות ההישג הזה שחרר האב את הרסן, ופסקל הצעיר הסתער על הגיאומטריה והחל גם להשתתף כמאזין בפגישות של מתמטיקאים. כעבור ארבע שנים בלבד הפיק הוכחה שזכתה לתשומת לב מגדולי המוחות של אותם ימים:

קחו חתך קוני, כלומר עיגול או אליפסה, וציירו שש נקודות לפי בחירתכם על ההיקף שלו. מספרו אותן מ-1 עד 6 (לא חשוב הסדר). כעת, המשיכו את הקו שבין 1 ל-2 ואת הקו שבין 4 ל-5 (צלעות נגדיות), ומצאו את הנקודה שבה שני הקווים נפגשים. מצאו גם את נקודת המפגש של המשכי הקווים 2-3 ו-5-6, ואת נקודת המפגש של 3-4 ו-6-1. יכול להיות, כמובן, שהקווים ייפגשו מחוץ לאליפסה. לא חשוב. מה שפסקל הוכיח הוא שתמיד, שלוש נקודות המפגש יישבו על אותו קו ישר (ואם אתם תוהים מה קורה כאשר יש זוג של מקבילים, כמו במשושה מושלם – שאלה טובה, תזכרו שהם נפגשים באינסוף). וזאת, כאמור, בגיל שש-עשרה.

זמן לא רב לאחר מכן, עוד לפני שמלאו לו תשע-עשרה, ביקש פסקל לסייע לאביו בחישובי המיסים האינסופיים (האב אטיין היה נציב מס מטעם המלך), ובנה עבורו את הפסקלין – מחשבון מכאני לחיבור וחיסור, שמתבסס על גלגלי שיניים וזיזים. במשך חייו המשיך פסקל לשכלל את המכונה וייצר בסך הכל כחמישים כאלה, מתוכן שתיים מוצגות עד היום במוזיאונים. הפסקלין היה יקר מאד והיווה בעיקר צעצוע וסמל סטטוס לעשירים.

שילושים קדושים ופחות קדושים

גורלו של פסקל לא שפר עליו, ובגיל שמונה עשרה לקה במחלת עצבים שהותירה אותו סובל מכאבים בכל גופו, עצבני ונטול שמחה. בעקבות כך, כנראה, החל להתעניין בדת וכתב חיבורים בנושא. האמונה – והקנאות – שלו העמיקו עוד יותר לאחר תאונת כרכרה ממנה ניצל בנס, ושני ספרים שכתב – "מכתבים פרובינציאליים" שתוקף אחת מהאמונות הקתוליות הנפוצות באותה תקופה, ו"הרהורים" שמנסה להגן על האמונה הנוצרית (ופורסם רק לאחר מותו) – נחשבו ועדיין נחשבים ליצירות מופת מבחינת איכות הכתיבה.

משולש פסקל

בסביבות שנת 1654 פנה אל פסקל אציל חובב-הימורים בשם אנטואן גומבו, השבלייה דה מרה. גומבו נהג להשתעשע בהימור פשוט: שני מתמודדים מטילים, למשל, מטבע וצוברים נקודות, והמנצח הוא זה שהגיע ראשון למספר נקודות שנקבע מראש. השאלה שלו הייתה כיצד לחלק את הכסף במקרה שחייבים להפסיק את המשחק באמצע. האם ניתן לחשב את הסיכויים של כל שחקן לנצח בו, בהינתן מספר הנקודות של כל אחד מהם? פסקל לקח את השאלה ברצינות, והחל להתכתב עם פרמה בנושא. השניים ניסחו ביחד את הבסיס למה שמכונה היום קומבינטוריקה וקשור בקשר הדוק לתורת ההסתברות הכללית יותר. לצורך החישובים הקומבינטוריים, פסקל עשה שימוש אינטנסיבי בסידור מיוחד של מספרים שקיבל את שמו – משולש פסקל. כל מספר במשולש חוץ מהעליון ביותר מורכב מסכום שני המספרים שמעליו, ובזכות פלא מתמטי חביב, כל שורה מאפשרת לקבוע את מספר הצירופים האפשריים של M אלמנטים מתוך אוסף בגודל N. בתמונה משמאל מוצג חלקו העליון של המשולש האינסופי הזה, והמספר המסומן (השלישי מימין בשורה הרביעית מלמעלה, כשמתחילים את הספירה מאפס) הוא בדיוק מספר הדרכים לבחור שלושה אלמנטים מתוך ארבעה, אם הסדר שלהם אינו חשוב.

פסקל תרם עוד תרומה משמעותית למתמטיקה כאשר הצליח, בפרץ נדיר של יצירתיות שקטע לרגע מתוק את ההתייסרות הגופנית והנפשית שלו, לגלות כמה דברים חשובים אודות הציקלואידה, שהעסיקה מאד את המתמטיקאים באותם ימים. אם תקחו צמיג, תדביקו עליו מסטיק ותתנו לו להתגלגל על משטח ישר, הציקלואידה היא הגרף שהמסטיק משרטט באוויר (במבט מהצד). פסקל גילה איך מחשבים את השטח שמתחת לגרף הציקלואידה, ועוד מספר שיטות ותכונות שימושיות שלה.

ההימור האחרון

תורת ההסתברות הצעירה והאובססיה הדתית של פסקל חברו בשלב מסוים ליצירת "ההימור של פסקל", הוכחה מתמטית מפורסמת לכך שכדאי להאמין באלוהים. לפי הוכחה זו, יכול להיות שיש אלוהים ויכול להיות שאין, ואדם יכול לבחור אם להאמין ולקיים מצוות, או להתנהג כחילוני מוחלט. אם אין אלוהים, אין זה משנה איך האדם יתנהג ובמה יאמין: בסוף כולם מתים וזהו. לעומת זאת, אם יש אלוהים, המאמין יזכה באושר אינסופי, והחילוני יחטוף גיהינום נצחי. לאור התוצאות האפשריות האלה, לא חשוב מה ההסתברות לקיומו של אלוהים: אפילו אם היא נמוכה מאד, המכפלה שלה בשכר או בעונש האפשריים היא עדיין אינסופית. לכן, קבע פסקל, ההיגיון התועלתני מחייב להאמין באלוהים. זהו כמובן קישקוש – בתור התחלה, החישוב הזה מניח שרק האמונה של פסקל עצמו היא הנכונה, ובעולם האמיתי יש מאות אמונות שונות ואף סותרות, שכולן מתיימרות להיות הנכונות. לא ברור אם פסקל זכה בהימור הגדול הזה של חייו. מה שבטוח, אם נחזור להשקפתו של בל, זה שהעולם זכה במתמטיקאי והוגה גדול, והפסיד בו-זמנית גאון גדול עוד יותר.