מנדלברוט - האיש שהוסיף ממד לחיים

בארבעה-עשר באוקטובר נפטר בנואה מנדלברוט בן ה-85 מסרטן הלבלב. מנדלברוט היה האיש שפיתח את תורת הפרקטלים והפך אותה לענף מתמטי בפני עצמו, והוא ייזכר בתודעה הציבורית בעיקר בזכות הפרקטל המפורסם שנושא את שמו, ושעליו דובר בהרחבה כאן בערוץ, באחד הטורים של "לפרק את הבייט". עם זאת, החשיבות וההשלכות של הגילויים שלו משתרעים הרבה מעבר לאיכויות האסתטיות של הפרקטל, וגם סיפורו האישי היה יוצא דופן וראוי לציון.

מורכבות פשוטה

תורת הפרקטלים עוסקת בישויות גאומטריות שבנויות מחלקים דומים להן-עצמן. אחת הדוגמאות המפורסמות לפרקטל בעולם האמיתי היא הכרובית: היא מורכבת מ"פרחים" שכל אחד מהם הוא מעין דגם מוקטן של הכרובית כולה, ומורכב בעצמו מדגמים קטנים עוד יותר. למעשה, גם בעולם החי והצומח וגם בעולם הדומם קיימים אינספור פרקטלים, וההישג הגדול של מנדלברוט היה הניסוח המתמטי שאפשר לנו להבחין, סוף כל סוף, במה שהיה מונח לכולנו מתחת לאף במשך אלפי שנים. בין השאר, הוא יצר את החיבור המושגי בין הצורות החוזרות על עצמן לבין "שברי ממדים" - ממדים מרחביים שאינם בדיוק אורך, רוחב או גובה, ושבעזרתם ניתן לתאר את התוואים של צורות לא סדירות כגון קווי חוף, עננים, מערכת כלי הדם ועוד.

מתמטיקאי לא רגיל

מנדלברוט התפרסם גם בזכות השימוש שלו במחשב במסגרת עבודתו. בניגוד למתמטיקאי הקלאסי, שמחפש הוכחות מוחלטות ואין לו שימוש לכוח חישוב מכאני וגס, מנדלברוט עסק בתחום שפשוט לא ניתן לתפוס אותו ללא המחשה חזותית נאותה, ואת זו יכול רק המחשב לספק. עם זאת, הוא עצמו ממילא לא היה מתמטיקאי קלאסי: מספרים שכאשר התייצב, בגיל 21, למבחני הקבלה ל-Ecole Polytechnique (בית הספר הגבוה למדעים ולמתמטיקה בצרפת), הוא פתר את השאלות בדרכים יצירתיות שאפילו כותבי המבחנים לא העלו בדעתם. הוא חונן בדמיון חזותי יוצא דופן, בעזרתו "עקף" את השיטות הרגילות והצליח, במהלך הלימודים ובהמשך הקריירה, לחדש ולראות את מה שאיש לא ראה לפניו.

אותו חוסר קונפורמיות עלה לו גם בקשיים, מכיוון שעורכים שמרניים לא תמיד העריכו - בצדק או שלא בצדק - את הרעיונות הפרועים ואת דרכי ההמחשה המקוריות שהציג במהלך הקריירה הארוכה והענפה שלו. במשך שלושים וחמש שנים עבד בחברת IBM, ובאותה תקופה פיתח את התיאוריה של הפרקטלים ויישם אותה על מבחר תופעות ובעיות. הוא זכה גם למספר רב של פרסים יוקרתיים ואותות כבוד. ראויה לציון במיוחד העובדה שמנדלברוט, יליד 1924, הגיע להישגיו המפורסמים בסביבות גיל חמישים ויותר - גיל שנחשב מתקדם מאד עבור חדשנות מתמטית.

עבודה עם ערך מעשי

התיאוריה של הפרקטלים מאפשרת לנו לזהות מגוון עצום של תופעות טבע כתוצרים של תהליכים פרקטליים, וכן לדמות תופעות כאלה במחשב לצורכי סימולציה או בידור (כגון נופים ריאליסטיים בסרטי אנימציה ממוחשבת). אך מה הערך המעשי של התיאוריה? אם אנו יודעים שדבר-מה הוא פרקטל, איזו תועלת אנו עשויים להפיק מכך?

הנה דוגמה מתחום הרפואה. מחקר שנערך בשנת 2000 הסתכל על דפוסי השינוי של שני פרמטרים גופניים מוכרים: דופק וקצב הליכה. שני אלה משתנים בהתאם לנסיבות נקודתיות, לשעה ביום, לגיל ועוד, ומסתבר ששניהם פרקטליים: דפוס השינויים על פני תקופה ממושכת דומה לדפוס שמתקבל בהסתכלות על תקופה קצרה. אם נשרטט את תוצאות המדידות על פני ציר הזמן נקבל גרף שכל קטע ממנו דומה, באופי הפרקטלי שלו, לגרף כולו. סטיה מתמשכת של התוצאות מהפרקטל ה"קבוע" עשויה להצביע על בעיה פיזיולוגית כלשהי, כגון פגיעה בשריר הלב או מחלה נוירולוגית.

את אותו העיקרון אפשר להחיל על תופעות פרקטליות אחרות, ועל ידי כך לזהות מגמות ושינויים שחורגים מהתנודות הרגילות והאקראיות-לכאורה שלהן. מזג אוויר, אוכלוסיות בעלי חיים וצמחים, רשתות תקשורת, בורסה וכן הלאה - כמעט בכל תחום אפשר למצוא פרמטרים בעלי התנהגות פרקטלית ולבחון אותם בהתאם, עם תוצאות ששום ניתוח סטטיסטי רגיל אינו יכול להשיג.

מנדלברוט תרם תרומה גדולה מאד לענפי מדע רבים, והשאיר אחריו מורשת נוספת וחשובה לא פחות: הידיעה שגם כיום, כשנדמה שכל תופעה נחקרה ומוצתה כמעט עד תום, עדיין יכולים להיות תחומים שלמים של ידע והבנה שפשוט לא הבחנו בהם עד כה - ושגם בעולם המדע המודרני מכוון הטכנולוגיה וההתמחות עוד יש מקום למגלים בעלי דמיון מפותח והעזה.