אף אחד לא מושלם: סיפורו של קורט גדל

פסקה חדשה

לפני מאה וארבע שנים בדיוק, בעשרים ושמונה באפריל 1906, נולד קורט גדל - מתמטיקאי ולוגיקן אוסטרי שעתיד לשנות לעד את האופן בו אנו מבינים את המתמטיקה. השלכות התגלית שלו יהדהדו (בצדק או שלא בצדק) במשך שנים רבות בעולם התרבות כולו, הרחק מעבר לתחום המדעי הצר יחסית לו היא שייכת. זהו כבוד ששמור למדענים בודדים בלבד - דארווין, איינשטיין ו-וורנר הייזנברג, אם לציין את רובם - אך בניגוד להם, סיפורו האישי של גדל מסתיים בצורה יוצאת דופן, שלא לומר טראגית.

 

משפטי האי-שלמות של גדל, שהקנו לו את פרסומו בשנת 1931, טכניים ומורכבים הרבה יותר מדי מכדי להציגם כאן בפירוט. לסקירה מקיפה ומפורטת, מומלץ לעיין בספרים שיוזכרו בסוף.

החיפוש אחר השלמות

לקראת סוף המאה התשע-עשרה ובתחילת המאה העשרים עסקו מתמטיקאים רבים בשאלה של יסודות המתמטיקה עצמה. מנין נובע הקשר ההדוק שלה למציאות הפיזית? האם קיים אוסף אחד ויחיד של אקסיומות, הנחות יסוד, שעליו אפשר לבסס את כל הענפים הרבים והשונים שלה? מה בדיוק הקשר בינה לבין "כללי החשיבה" של הלוגיקה הצורנית? חקירות אלה, שהתחילו באופטימיות רבה, נתקלו במהרה בקשיים עצומים בדמות סתירות ופרדוקסים. כל עוד הם מוגבלים לשפת היומיום הרב-משמעית והלא-מדויקת, אנשים מסוגלים לחיות עם פרדוקסים מובהקים ואפילו להאמין בהם, כגון בפירוש המקובל של האמרה "הכל צפוי והרשות נתונה". לעומת זאת, סתירה מתמטית (שלא במסגרת הוכחה על דרך השלילה, כמובן) היא אסון, מפני שהיא מצביעה על טעות - והטעות הקטנה ביותר תמוטט בהכרח את המבנה כולו.

 

בשנת 1927 יצאה לאור המהדורה השניה של הספר "Principia Mathematica" מאת צמד הפילוסופים/מתמטיקאים אלפרד וויטהד וברטרנד ראסל, שניסו לתפוס שתי ציפורים במכה: גם לגזור את המתמטיקה כולה מאוסף מוגדר של אקסיומות וכללים לוגיים, וגם להיפטר על הדרך מכל הסתירות המרגיזות שהתגלו עד אז. מרכיב חשוב בתהליך היה הניסיון למנוע כל אפשרות של הפניה עצמית (כמו זו שקיימת במשפט הידוע "המשפט הזה הוא שקר"), מכיוון שרוב הפרדוקסים היו תוצאה של הפניות עצמיות שכאלה. התוצאה היתה מרשימה וראויה להערכה, אך היא שרדה ארבע שנים בלבד - כי אז גילה גדל את הדלת האחורית שמאפשרת הפניה עצמית ואיתור "חורים" גם בשיטה של ראסל ו-וויטהד, ולמעשה בכל שיטה מתמטית דומה שפותחה או שתפותח אי פעם!

עקבית ושלמה – נא לבחור

הציפיה המינימלית מכל מערכת לוגית או מתמטית ראויה לשמה היא שהיא תהיה עקבית (קונסיסטנטית), כלומר שכל משפט שמוגדר בה (למשל "1+1=2") יהיה או אמיתי או שקרי במסגרת אותה מערכת, אבל לא שניהם גם יחד או אף אחד מהם כפי שקורה בפרדוקסים. ראסל ו-וויטהד ניסו ליצור מתמטיקה שתהיה לא רק עקבית אלא גם שלמה, כלומר שבעזרת האקסיומות והכללים הבסיסיים שלה ניתן יהיה להוכיח, לפחות בתיאוריה, את האמיתות או השקריות של כל משפט שהוא.

 

מה שגדל הראה הוא שפשוט לא ניתן להשיג את שתי המטרות של עקביות ושלמות גם יחד. ליתר דיוק, בכל מערכת עקבית שהיא מורכבת מספיק כדי לייצג את המספרים הטבעיים ואת פעולות החשבון הבסיסיות אפשר להגדיר משפט שהוא אמנם אמיתי, אך שאין שום דרך להוכיח את האמיתות שלו במסגרת אותה מערכת! כיצד? באמצעות המקבילה המתמטית של המשפט "משפט זה אינו ניתן להוכחה במערכת". הרי אם היה ניתן להוכיח אותו, היתה נוצרת סתירה (כי הוא עצמו אומר שלא ניתן להוכיח אותו). לעומת זאת, אם לא ניתן להוכיח אותו, אז הוא אומר דבר נכון, כלומר שהוא אמיתי - אבל כפי שהוא עצמו מודה, אי אפשר להוכיח את זה מתוך המערכת.

מהרסייך ומחריבייך ממך יצאו

ההוכחה הזו נראית במבט ראשון כמו התחכמות זולה, ובכלל, איך אפשר לדבר - באמצעות מספרים ופעולות חשבון בלבד, כאמור - על משפטים ועל אפשרות ההוכחה שלהם? כאן באה לידי ביטוי הגאונות של גדל. בעזרת קידוד מתוחכם הוא הצליח לבטא את כללי היסוד של המערכת עצמה כמספרים תמימים, כך שהמספרים עצמם והתוצאות של פעולות בסיסיות עליהם הופכים להצהרות על המערכת ועל האמיתות של משפטים בה. שום מנגנון הגנה כמו שניסו ראסל ו-וויטהד ליצור אינו יכול לבלום את המספרים הללו: כמו וירוס מחשב חדש שאורב בתוך הביטים התמימים שבזכרון, כמו מחלה אוטואימונית ששום מערכת חיסון לא יכולה לעצור מפני שמקורה במערכת החיסון עצמה, כך מספרי גדל הללו אורבים בשקט בתוך כל מערכת מתמטית ומתנהגים בדיוק כמו מספרים רגילים עד שמשמעותם ההרסנית יוצאת לאור. החלום על מתמטיקה עקבית ושלמה אבד לנצח, ואחת הסיבות לכך שהקורא המודרני, הספקן והציני עשוי לא להתרשם מכך יותר מדי היא בדיוק מכיוון שהמהפכה הזו הוטמעה עמוק כל כך בתרבות מאז אותן שנים.

השלכות לא מתמטיות

כפי שהוזכר קודם, המכה שגדל הנחית על המתמטיקה לא עצרה שם. אם ב"מלכת המדעים" נפלה שלהבת, כביכול, מה יגידו ענפי ידע פחותים יותר? היו שבחרו לראות במשפטי האי-שלמות, מתוך חוסר הבנה או מתוך חוסר רצון להבין, הוכחה לאי-שלמות של השיטה המדעית עצמה (כאשר החלופה שהוצעה בדלת האחורית היתה, כמובן, כל אמונה דתית או לא-מדעית אחרת שהתוקף החזיק בה). אחרים, ביניהם דמויות שקשה לזלזל בהן כמו רוג'ר פנרוז, הוסיפו למשפטי גדל מספר הנחות והסיקו מהם מסקנות מרחיקות לכת, לפיהן המחשבה האנושית לא ניתנת לתיאור או לחיקוי באמצעים דטרמיניסטיים (מכת מוות לחלומות של תחום האינטליגנציה המלאכותית, ואפילו לתפיסה של הנפש כתוצר של תהליכים פיזיקליים גרידא).

החיים אחרי ההוכחה

גדל לא היה יהודי, אך קשריו עם מתמטיקאים יהודים לא התקבלו בעין יפה על ידי הנאצים ובשנת 1940 לערך עבר לארצות הברית, שם המשיך לעבוד ולפתח את רעיונותיו וגם התיידד עם אלברט איינשטיין. עם השנים החל לעסוק בתחומים פחות מתמטיים ויותר פילוסופיים, ואף ניסה להציע הוכחה חדשה לקיום אלוהים. בערוב ימיו לקה בנפשו, פיתח שגעון רדיפה וטען שמנסים להרעילו. הוא סירב לאכול כל דבר שהוא אלא אם אשתו טעמה זאת לפניו, וכאשר היא עצמה אושפזה בזקנתה ולא יכלה להמשיך לעשות זאת, הוא פשוט הפסיק לאכול ובתחילת שנת 1978 מת מהרעבה עצמית. אפשר לראות בזה מין טוויסט אכזרי על הרעיון שהקנה לו את פרסומו - הוא נשאר עקבי עד הסוף, אך מערכת הרעיונות שלו היתה רחוקה משלמות.

קריאה נוספת

מידע נוסף על משפטי גדל ונושאים קשורים נוספים אפשר למצוא, בין השאר, בספרים:

1. Godel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid by Douglas Hofstadter
2. Godel's Proof by Ernest Nigel, James Newman & Douglas Hofstadter
3. משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה מאת ארנון אברון (הוצ' משרד הבטחון)

ועוד בבלוג "לא מדויק" וב"אייל הקורא" ז"ל.