ג'ון נאש: האיש הזה גאון

ב-13 ביוני השנה אנו חוגגים יום הולדת שמונים למתמטיקאי וזוכה פרס נובל לכלכלה בשנת 1994, ג'ון פורבס נאש. את הפרס הוא חלק עם שני זוכים נוספים בזכות עבודת הדוקטורט שכתב בגיל 22 בלבד, ואשר עליה נאמר שהיא טריוויאלית בהשוואה להישג אחר שלו, מוכר פחות לקהל הרחב.

כילד, נאש היה התגלמות הסטריאוטיפ של המתמטיקאי הגאון: מתבודד, סולד מספורט ומבני גילו הנחותים אינטלקטואלית, מעדיף ללמוד ולבצע ניסויים מדעיים בחדרו וקצת משונה באופן כללי. הוא גם קרא ספרים, ואחד מהם – Men of Mathematics הקלאסי של א.ט. בל – גרם לו להתחיל להתעניין במתמטיקה. את לימודיו האקדמיים התחיל בזמן התיכון ובגיל 20 כבר קיבל את התואר השני. כאשר ביקש להתקבל ללימודי מתמטיקה באחת מהאוניברסיטאות היוקרתיות, צייד אותו אחד מהמרצים במכתב ההמלצה התמציתי הבא: "האיש הזה גאון". נאש הצדיק את הציפיות וכתב דיסרטציה בתחום תורת המשחקים, שהדיה נשמעים עד היום.

למרות השם המפתה, תורת המשחקים היא לא עסק לילדים ולא מדריך לגיימרים. זהו תחום מתמטי עם יישומים מעשיים, שיכולים לקבוע את הגורל של כולנו (וייתכן שכבר קבעו יותר מפעם אחת). המונח "משחק" נבחר רק משום שהתחום עוסק במקרים שיש להם קווי דמיון למשחקים אמיתיים: מספר משתתפים, חוקים מוגדרים וידועים לכולם שכוללים הגדרה של ניצחון או הפסד, ומספר אסטרטגיות פעולה שונות לבחירה. זה נכון לשני ילדים שמשחקים אבן-נייר-ומספריים, וזה נכון לעשרות מדינות שמתחרות בשוק הכלכלי הבינלאומי. הדוגמה המפורסמת ביותר לסוג הבעיות בהן עוסקת תורת המשחקים היא "דילמת האסיר".

דילמת האסיר

שני חשודים בפשע נתפסים ומוחזקים בנפרד, ולכל אחד מהם מוצג התסריט הבא: אם אף אחד מכם לא "יזמר", שניכם תשבו חצי שנה בכלא. אם תלשינו זה על זה, תשבו חמש שנים. לעומת זאת, אם אחד ישתוק והשני ילשין, המלשן ישוחרר והשני יישב עשר שנים. מה כדאי לעציר לעשות? אם ישתוק, הוא יישב חצי שנה במקרה הטוב או עשר שנים במקרה הרע. אם ילשין, הוא ייצא לחופשי מייד או יישב לכל היותר חמש שנים - כלומר בכל מקרה עדיף להלשין. הבעיה היא שזהו בדיוק השיקול של העציר השני, ואם שניהם ילשינו הם יישבו חמש. לכאורה, אם היו יכולים לסמוך זה על זה בצורה מוחלטת, הם היו בוחרים לשתוק ולצאת יחסית בזול. אבל כל עוד אף אחד לא יודע בוודאות מה השני יעשה והאינטרסים שלהם סותרים, אין ברירה אלא לעשות את השיקול הרציונלי ולהלשין, פעולה שמביאה לתוצאה לגמרי לא רצויה.

המצב הזה, שבו יש רק דרך פעולה רציונלית אחת עבור כל מתמודד ולא כדאי לו לשנות את האסטרטגיה באופן חד-צדדי, נקרא שיווי משקל נאש - כי באותה עבודה מפורסמת, ג'ון נאש ניסח לראשונה את המושג הזה והוכיח שהוא מתקיים בכל משחק כזה. ולמה הוכחה כזאת שווה פרס נובל? כי בעזרת פיתוחים של המתמטיקה הזאת אפשר, למשל, להבין למה שתי מעצמות-על משקיעות את כל הכסף שלהן במרוץ חימוש מטורף, מסוכן ובזבזני, שמייצר מספיק כלי נשק כדי להשמיד את כל העולם כמה וכמה פעמים; ומה שעוד יותר חשוב, אפשר גם לצפות מצבים כאלה מראש ולנסות למנוע אותם, או להמציא דרכים חכמות לצאת מהם. תורת המשחקים שימושית במדעים רבים, ביניהם ביולוגיה ומדעי החברה, והפכה לחלק בלתי נפרד מהתיאוריות הכלכליות המודרניות. אגב, את אחד משלושת המאמרים שנאש פרסם בעקבות הדוקטורט ההוא אפשר לקרוא כאן. הוא כל-כך קצר שזה פשוט מצחיק.

שעמום

האגדה מספרת שבמהלך לימודיו, נאש ישב בהרצאה והשמיע קולות של שיעמום בעוד המרצה מנסה להוכיח טענה מתמטית כלשהי על הלוח. המרצה, שביקש כנראה לסתום לו את הפה, שאל אותו: "האם ניתן להטמיע כל יריעה רימאנית שהיא במרחב אוקלידי?" שאלה שהייתה משתיקה ללא ספק את רובנו מסיבות ברורות, אך גם מתמטיקאים רבים וטובים באותו דור. אלא שנאש לקח אותה ברצינות, עבד עליה שנתיים ובסוף הוכיח שכן, הדבר אפשרי - הוכחה שעליה נאמר שהיא אחת מהעבודות המתמטיות החשובות של המאה העשרים.

רק כדי לסבר את האוזן, "יריעה" (Manifold) היא מרחב מתמטי מופשט שבו הסביבה הקרובה של כל נקודה דומה מאד למרחב אוקלידי רגיל. למשל, כדור הארץ שלנו הוא כדורי, אבל בסביבה המיידית שלנו נדמה שהאדמה ישרה ולא מתעקלת למטה בכל כיוון. "יריעה רימאנית" היא יריעה שמקיימת אוסף ספציפי של תכונות גאומטריות ומתמטיות, ו"להטמיע" פירושו למפות את היריעה הרימאנית, בעזרת פונקציות מתמטיות שמשמרות תכונות חשובות שלה, על גבי מרחב אוקלידי. זהו בדיוק מסוג ההישגים שצריך שנים רבות של לימוד רק כדי להבין בכלל עד כמה הם מדהימים.

תם ולא נשלם

ייתכן שהקריירה של נאש הייתה מגיעה גבוה עוד יותר אלמלא מחלת הסכיזופרניה הפרנואידית, שתקפה אותו משנת 1958 וניטרלה את עבודתו האקדמית למשך כמעט עשרים שנה. במהלך תקופה זו התאושש לאיטו, קיבל מספר פרסים יוקרתיים בתחום המתמטיקה ובסוף שנות השמונים, לאחר שהשתחרר כדבריו מ"קווי מחשבה אשלייתיים", החל להתכתב בדואר אלקטרוני עם מתמטיקאים פעילים ולעבוד איתם על פיתוחים חדשים בתורת המשחקים, בגיל שנחשב מופלג עבור מתמטיקאים.

בשנת 1998 יצאה לאור ביוגרפיה של נאש, "נפלאות התבונה" מאת סילביה נסאר, שהפכה – לאחר התאמות הוליוודיות רבות – לסרט בשנת 2001. הגאון עצמו ממשיך בחייו הפרטיים הרחק מאור הזרקורים: ככל הנראה, לא ישתתף אפילו בכנס שמארגנת אוניברסיטת פרינסטון, בה למד ועבד בשנותיו היפות והפחות-יפות, לכבוד יום ההולדת שלו.