הסיפור הלא יאמן של הקשיש שפענח חידה מתמטית בלתי פתורה בת עשרות שנים

סטטיסטיקאי גרמני הוכיח השערה מתמטית שהעסיקה את גדולי המתמטיקאים עשרות שנים. את מה שמתמטיקאים רבים ניסו להוכיח במשך כל הקריירה שלהם הצליח הפנסיונר לפתור מעל כיור האמבטיה בביתו.

אי-שוויון המתאם הגאוסי (Gaussian correlation inequality, או בקיצור GCI) התפרסם לראשונה בשנות ה-50 ונוסח באופן מלא בשנת 1972. כדי להמחיש אותו אפשר לחשוב על שני משתנים המתפלגים בצורה נורמלית באוכלוסייה, כמו גובה ומשקל. אם נסקור את הגובה של קבוצה אקראית של אנשים, נקבל שהגובה של רובם יהיה קרוב לממוצע גובה האוכלוסייה, ומספר קטן הרבה יותר של אנשים יהיו גבוהים או נמוכים בהרבה מהממוצע. כשמציגים את ההתפלגות שלהם בגרף מתקבלת מעין צורת פעמון.

אי השוויון קובע שאם נרצה לחשב את ההסתברות לשני משתנים יחד, למשל הסיכוי שאדם יהיה בגובה של 1.75 וגם ישקול 60 קילוגרם, ההסתברות הזו תהיה לכל הפחות המכפלה של שתי ההסתברויות שמרכיבות אותה. במונחים יותר מתמטיים נאמר שאי-השוויון מתאר גבול מינימלי עבור ההסתברות המשותפת של שני משתנים המתפלגים נורמלית.

דרך נוספת לנסח את אי-השוויון היא בעזרת צורות סימטריות ומשחק קליעת חצים למטרה. נדמיין שתי צורות סימטריות, למשל עיגול ומלבן, שממורכזות באותה נקודה. בהנחה שהצורות אינן זהות, יהיה בהכרח אזור שבו הן יחפפו ואזור אחר שלא תהיה בו חפיפה בין הצורות. אם נשחק בקליעת חצים למטרה שנמצאת בנקודת המרכז של שתי הצורות, מספר החצים שיפגעו בשתי הצורות יחד יהיה גדול או שווה למספר החצים שיפגעו בעיגול בלבד כפול מספר החצים שיפגעו במלבן בלבד. הסיבה היא שמספר החצים סביב המטרה במשחק קליעה למטרה מתפלג גם הוא בצורה נורמלית ולכן רובם יתרכזו ליד מרכז המטרה.

אי-שוויון המתאם הגאוסי הוכלל גם לממדים גבוהים יותר, אך במשך עשרות שנים נותר השערה בלבד, ומתמטיקאים רבים נכשלו בניסיון להוכיח אותו. לפני כשלוש שנים הצליח הפנסיונר הגרמני תומס רוין (Royen), סטטיסטיקאי במקצועו, להוכיח את ההשערה. רוין חשב על פתרון ההוכחה בבוקר של 17 ביוני 2014 בביתו, וכבר באותו ערב סיים לכתוב טיוטה ראשונית של ההוכחה. למרבה הפלא הספיקו לו כלים מתמטיים בסיסיים למדי כדי להוכיח את ההשערה.

ידוע שכאשר שני משתנים שמתפלגים בצורה נורמלית אינם תלויים זה בזה, ההסתברות המשותפת שלהם שווה למכפלת ההסתברויות של כל משתנה. כדי להראות שההסתברות המשותפת של שני משתנים שתלויים זה בזה תמיד גדולה יותר ממכפלת ההסתברויות של כל משתנה, רוין חישב את הנגזרת של ההסתברות המשותפת. ההשראה לפתרון הגיעה אליו אחרי שצבר עשרות שנות ניסיון בפיתוח נוסחאות סטטיסטיות ליעילותן של תרופות ניסיוניות בזמן שעבד בחברות תרופות.

רוין פרסם את ההוכחה כבר ב-2014, אך רק לאחרונה התחילה ההוכחה שלו לעורר הדים. הסיבה לעיכוב היא ככל הנראה העובדה שרויאן פרסם את הוכחתו בכתב עת שולי יחסית ובעל תפוצה נמוכה, לצד זאת שהכישלונות הרבים בהוכחת אי-השוויון גרמו למתמטיקאים רבים לפקפק באפשרות למצוא לו פתרון. רק לאחר ששני מתמטיקאים פולנים קידמו במאמר נוסף את ההוכחה זכה רויאן בכבוד המגיע לו.

הכתבה הופיעה לראשונה באתר מכון דוידסון, הזרוע החינוכית של מכון וייצמן למדע. לעוד סיפורים מסקרנים ומרתקים על עולם המדע. האפליקציה זמינה בקישורים הבאים: משתמשי אנדרואיד, משתמשי iOS.